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浅谈平面几何中辅助线的做法
2013-05-06 22:38:58   来源:紫阳县毛坝中学 贺俊   评论:0 点击:

  浅谈平面几何中辅助线的做法  紫阳县毛坝中学贺俊  在平面几何中,解决有关问题时,常常需要添加适当的辅助线,架起题设和结论间的...

  浅谈平面几何中辅助线的做法

  紫阳县毛坝中学贺俊

  在平面几何中,解决有关问题时,常常需要添加适当的辅助线,架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易,顺其自然地得到解决,因此,灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法,对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。

  例1,已知,如图,AB=AC,D为BA延长线上一点,E为AC上一点,且AD=AE,DE延长线交BC于F。求证:DF⊥BC。

  此类题目关键是如何添加辅助线,教师引导学生从不同的侧面作辅助线,并根据学过的有关性质定理进行证明,不但能巩固所学的知识,而且能增强学生的思维灵活性。

  (图1)(图2)(图3)(图4)(图5)

  方法一:构造等腰三角形,利用等腰三角形性质证明。

  (1)过点D作DG∥AC交BC延长线于点G(如图1);

  ∴∠ACB=∠G,∠AED=∠EDG;又∵AB=AC,AD=AE,∴∠ABC=∠ACB,

  ∠AED=∠ADE;∴∠ABC=∠G,∠ADE=∠EDG;

  ∴DF是等腰三角形DBG顶角的平分线,

  ∴DF⊥BC.

  (2)过B点作BG∥AC交DF延长线于点G(如图4);

  证明方法与(1)相似.

  方法二:构造直角三角形,根据垂直定义和平行线性质证明。

  (3)过D点作DG∥BC交CA延长线于点G(如图2);∴∠G=∠ACB,∠GDA=∠B;

  又∵AB=AC,AD=AE,∴∠B=∠ACB,∠AED=∠ADE;∴∠G=∠GDA;

  又∠G+∠GDA+∠ADE+∠AED=1800,∴∠GDA+∠ADE=900;∴GD⊥DF,

  又∵DG∥BC,

  ∴DF⊥BC.

  (4)过C点作CG∥DF交BD延长线于点G(如图3);

  证明过程与(3)相似。

  方法三:构造矩形,利用矩形性质证明。

  (5)过A点作AG⊥BC于点G,AH⊥DF于点H(如图5).

  ∵AB=AC,AD=AE,AG⊥BC,AH⊥DF,∴∠BAG=∠CAG,∠DAH=∠EAH;

  又∠BAG+∠CAG+∠DAH+∠EAH=1800;,∴∠CAG+∠EAH=900,即HA⊥GA,

  ∴四边形AGFH是矩形,

  ∴DF⊥BC。

  学生在思考问题时,要训练学生将信息向各种可能方向扩展,并引出更多的信息,使解题思路不拘泥于一个途径,不局限于一种理解,不满足于得到的基本结论。在教学中引导学生在多样性的数量关系中发现演变规律,达到举一反三、触类旁通的目的。

  下面介绍几种常见的做辅助线的方法:

  (一)中点问题添加辅助线的方法

  有关三角形中线的题目,常将中线加倍。含有中点的题目,常常利用三角形的中位线定理,使问题得到解决。

  例2,如图(6),在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E、F分别是AB、CD的中点,且AC=BD.求证:OM=ON.

  (图6)(图7)

  本题证明只需要找出AD(或者BC)的中点H,连接HE和HF(如图7),即可运用三角形中位线定理证明。

  (二)梯形常见的几种辅助线的做法

  梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合,通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁,梯形中常用到的辅助线有:

  在梯形内部平移一腰、梯形外平移一腰、梯形内平移两腰、延长两腰、过梯形上底的两端点向下底作高、平移对角线等。

  例3,如图(8),在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=900,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD的中点,试对CE与BE的位置关系作出判断,并给出证明。

  (图8)(图9)(图10)

  很容易看出CE与BE是垂直关系,只需要在梯形内部平移腰DA到CF位置(如图9)(或者过C点做CF⊥AB于F),利用勾股定理求出三角形CEB各边长,即可判定△CEB是直角三角形。当然,也可以利用中位线定理证明,过E点做EF∥AB,交CB于点F(如图10).

  (三)证明线段相等常常构造全等三角形

  证明线段相等或者角相等可利用平行四边形或者平行线性质,目的都是造就线段的平行、垂直或构成全等三角形。

  例4,如图(11),在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E。

  求证:AD=DE.

  (图11)(图12)

  该题直接证明AD=DE有点困难,但运用平行四边形性质构造全等三角形可迎刃而解,如图(12),延长DF交BC于点G,得到平行四边形ABGD,再证明△BFG≌△DFE即可.

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